● 徐丞志／台大化學系助理教授
「老師，請問武漢肺炎疫情什麼時候才會結束？」這是昨（29）天我學生問我的一句話。
我當下回應是，我不是公衛和流行病學專業，所以我無法回答。不過學生問的這個問題，其實從化學課本中教過的知識，或許就可以嘗試來回答。
時間先拉回到小年夜武漢封城那天（1月23日），官方公布的武漢肺炎（2019-nCoV） 單日確診人數，還只有200多人（包括中國國家健康衛生委員會和WHO的報告），轉眼到初三（1月）27日，一天內的單日確診數已經達到1700多人，而在中國境內的總確診病例也在1月28日突破2003年SARS的數字。
▲武漢肺炎傳染預測圖 。（圖／台灣大學化學系助理教授徐丞志提供）
因為確診數字跳動非常快，而且不斷創新高，相信所有人都想知道：「到底有多少人被感染，以及疫情何時會結束？」
對於還沒發生的事情，除了上帝以外，沒有人知道正確答案。但是針對這問題，流行病學家參考過往的經驗，早已提出各種數學模型，去描述流行病傳播時，隨著時間變化被感染的人數可能是多少？
以 SARS 為例，2003年就至少有10篇統計模型被提出來，隔年還有人寫了文獻回顧整理（註一）。這些模型令人眼花撩亂，非相關專業背景的人很難知其究竟。（請參Chris T. Bauch, et al. (2005) “Dynamically Modeling SARS and Other Newly Emerging Respiratory Illnesses: Past, Present, and Future.” Epidemiology, 16, pp. 791-801.）
剛好我學生也隨口問了這個問題，因此在這邊，我從化學反應的碰撞理論作為起點，提出一個有高中化學程度就能大致理解的動力學模型，以較直觀的方式來去描述傳染病的傳播方式，以及被感染人數隨時間的變化。
接著，再嘗試透過過去的經驗和其他專家的意見，來預測這次武漢肺炎可能的走向（為了避免我被疾管局找去喝咖啡，請先詳閱文章結尾的聲明）。
▲本文作者說，下面動力學解說部分，沒興趣的人請跳過，請直接往下看疫情預測。（圖／取自免費圖庫Pixabay）
以下容我先上一點反應動力學的課，沒興趣的人可以直接跳到後面疫情預測的部分。
動力學模型說明
首先我們要先想像，在一個空間裡面，有兩種人：一種是健康的人（用Ａ表示），另一種是不幸被感染的人（用Ｂ表示），Ａ和Ｂ在這個空間中會隨機亂走，因此有一定的機率會彼此相碰。
當Ａ碰Ａ或Ｂ碰Ｂ時，並不會有反應，但是當Ａ碰到Ｂ的時候，則有一定的機率，被感染的Ｂ會將健康的Ａ也變成Ｂ（將病原傳給Ａ）。
我們可以把上述的情況用一條化學反應式來代表（反應不可逆）：
Ａ（一位健康者）＋Ｂ（一位被感染者）→ 2 Ｂ（兩位被感染者）
如此，這個反應的速率，會跟空間中Ａ和Ｂ的數量都分別呈正相關，因此當一群Ａ裡面忽然有了Ｂ，隨著時間演進，整個群體會逐漸都變成Ｂ。
而被感染者Ｂ的數量，增加最快的時候，並不是最剛開始出現Ｂ時，而是Ａ和Ｂ差不多是一樣多的時候，因為Ａ跟Ｂ相碰的頻率會最高。
因此，你可以想像，起初被感染的Ｂ人數不多時，人數增加得並不快。接著，逐漸到邁向高峰，而當跨過最高峰後，因為可以被感染的人變少了，被感染人數Ｂ所增加的速率也就會迅速降低。
理論上，在不考慮健康者Ａ自然死亡的情況下，Ａ＋Ｂ的數量會等於區域內的總人口數。但是若在疫情剛開始的時候進行隔離防疫，相當於限制Ｂ可以觸及Ａ的機會和範圍。因此，Ａ＋Ｂ的總數量會隨著防疫的落實而大幅減少，形成一個初始的邊界條件，決定了最後的總感染人數。
▲「清流哥」武漢方艙醫院淡定看書 爆紅高學歷被起底。（圖／翻攝自微博）
這樣的一個極為簡化的模型，它的每日「新增」的被感染者（delta [B]）就是化學上的二級反應式，寫成數學式子就是：
delta [B] = 「當日患者數」 x 「當日健康者數」 x 常數（[A]*[B]* Const）
用這樣的式子就可以去計算，隨著疫情演進，在不同時間點被感染者的增加速率。
但是，有幾點需要特別注意：
第一，這個模型假設，一旦被感染就具有傳染力，即使是在潛伏期也是。
第二，因為從感染後，進入潛伏期到出症狀，以及檢體送樣後到確診，都需要一點時間。因此確診日期與實際被感染日中間會有誤差，以這次2019-nCov武漢肺炎來說，大概抓個 10-15 天的延遲。
第三，為了方便起見，我們假定每個人的延遲時間相同，因此直接以官方統計的「確診日期」來套用到模型上面，用來估算每日新增「確診數」。
第四，先前的SARS或MERS都證實存在有少數的超級傳染者，對疫情傳播有關鍵作用，但是在這個簡易的模型中我們假設每個人的傳播能力是一樣的。
理論建立好了，再來就是要去驗證。
▲武漢肺炎傳染預測圖 。（圖／台灣大學化學系助理教授徐丞志提供）
過去案例探討
本來，這個假期給自己訂下的工作，是要趁著難得的長假，把手邊幾篇學生已經寫好的初稿改一改。但是，從小年夜武漢封城開始，思緒就被疫情牽動，索性回去把自己以前的一些手稿和官方公布資料調出來讀。
找了幾個大家比較知道的，像是2003年的SARS、2014─2016的台灣登革熱疫情、前幾年的伊波拉，以及台灣近期的幾次流感大爆發，大致上都能fit進去統計數字中（左圖紅色的校正曲線就是用模型預估的理論值，藍色點為實際值）。
左圖選了幾個代表性的疫情貼給大家看。數據來源，包括：WHO網站和台灣傳染病統計資料查詢系統。
這邊要特別稱讚台灣傳染病統計資料查詢系統，數據非常詳盡，而且資料一抓就有，比較可惜的是，它的資料多是以周作統計，不像WHO很多疫情可以做到逐日更新。
從圖上來看，不管是登革熱或是SARS，每周／每日的新增人數都是兩側低、中間高，然後右翼（疫情減緩時）數字下降的會比較陡峭。
SARS疫情因為是逐日登載，所以上下跳動的幅度比較大。
而登革熱的數據，因為是每周紀錄，相當於做了七點平均，因此平滑許多。在登革熱的數據R^2值，甚至都可以超過0.95，可以很大程度解釋傳播機制（關於登革熱疫情我在 2015 年就曾討論過，當時估算時，沒考慮不同區疫情的長短，以及防疫工作的影響。因此，那次估出來的數字與實際的數值差了好幾倍，這次的預測會一併考慮此效應）。
▲蚊子叮咬。（圖／取自免費圖庫Pixabay）
為了方便大家理解和比較不同傳染病間疫情的差別，我定義校正曲線上半高寬所橫跨的期間，為疫情的「高峰期」。在數據點半高寬碰觸的兩邊，恰好是確診數增加速率為快的時候（切線斜率最大），而同時也可作為一個比較疫期長短的基準。
譬如，2015年台南登革熱高峰期（約六周），就遠比2014年的高屏區登革熱疫情（約十一周）要短；而同樣是 SARS，在香港疫情高峰期約 40天（3/18─4/27），但在台灣就大概只有18天（從圖上也可以清楚看出來。
儘管當年 4／24 和平醫院就封院了，但是從事後數據看來，真正的高峰要到 5／10 才來，而此時香港的疫情，已經結束的差不多了）。這個高峰期，我們在後面預測本次武漢肺炎未來走勢時，也相當重要，請大家先牢記。
至於總確診數，就是整個區線底下的線下面積，因此曲線涵蓋的範圍愈大，感染人數愈多。
特別注意的是，圖上的縱軸，代表的是單位時間（天／周）內「新增」的個案數。因此，這裡說的疫情結束，是指感染人數不再新增，而不是感染人數歸零。即使感染人數不再新增，可能還是存在大量感染人數，和新增死亡人數。
▲武漢肺炎／湖北封城。（圖／路透）
回頭再來看看此次的2019-nCoV武漢肺炎，在用這個模型作數據推估前，我們先看一下其他流行病學專家怎麼說。
Eric Toner預估會死6500萬人
各家統計的 2019-nCoV 感染人數，從幾萬人到上億都有人估計，估最高的是Eric Toner，在去年十月就預測的新型冠狀病毒會大流行，並且殺死六千五百萬人。但是這個數據我一直找不到原始論文，加上這個數字看起來是在毫無防疫措施的前題下推估的，因此先暫且擱一邊。
Jonathan Read刪去20萬人染病的預估
另一個比較可信的，是Lancaster大學的Jonathan Read等人在1／24放上medRxiv的一篇論文，在它的第一版中提到：在沒有有效的防疫措施下，到2／4那天之前，光是武漢地區就會有約20萬人被感染。並且隨著春運，疫情會在中國各大城市遍地開花。
不過，在他們 1／27 上傳的第二版論文中，已經刪去了該段20萬人染病的預測，並在修正了參數之後，更新了其中一項數字。推估1／22之前，在武漢的總感染約是兩萬人。這篇因為是極少數的預測中，有公開他們的原始論文內容的，因此後面的估計，會有很大比重是參考這篇。不過須注意的是，這篇並沒有討論何時會是疫情高峰。
所有的預測模型都有一個特性，就是數據點愈多，模型的預測力會愈強，因此愈是後期的預測，儘管數學工具不同，但是預測的數字，會愈接近真實狀況。
這兩天，有兩位醫界專家不約而同分別作出預測：第一位是當年的抗SARS大將鍾南山，他認為疫情大概在2／9達頂峰，但是沒有預估最終的確診人數。
▲武展（武漢國家會展中心）方艙醫院內部環境。（圖／記者葉國吏攝）
港大醫學院院長：疫情4至5月封頂
第二位是香港大學醫學院院長梁卓偉，他推估在1／27，武漢已經有四萬多人感染，而且因為中國其他大城市也會出現大規模傳染，因此整體疫情要到4至5月才封頂。
綜合上述預測內容，搭配手邊現有的確診數據，我嘗試以這個簡單的動力學模型來推估可能的確診數。
狀況一（橘線）：2／9達到確診高峰，日增一萬確診病例。
我這邊給了三個劇本，分別以感染人數從多到少、每日確診人數高峰從遠到近來排序。
（因為篇幅的關係，模型參數的設定、優化等細節，就不在此贅述。）
第一個狀況，比較接近 J. Read 在第一版的論文中提到的，防疫效果低，感染人數在2／4破20萬的情況（注意可被觀察到的確診數要推遲到2／18 以後）。
另外，參考當年SARS在台灣高峰期大約18天，可以得到右圖的橘色線。
在這個劇本中，確診數高峰要到2／9左右之後才開始，並且持續約三周。最高峰時，每天新增的確診病例會達到一萬人，最後總人數約 24 萬上下（請自行抓正負 50%）。
而這個劇本也會類似2003年台灣的SARS，當年和平醫院封院，距離高峰期還有兩個禮拜。而這次武漢封城（1／23），距離2／9也大約是兩周多一點的時間。
不過這個狀況的前題，是前面封城的防疫效果不佳，到二月初才停止人傳人的情況，而 J. Read 那篇第二版自己也拿掉了這個預測，因此是否走這個劇本，我個人比較抱持懷疑的態度。
狀況二（綠線）：1／31進入高峰期，直到2／13日增2000至4000確診病例。
狀況二（綠線），就是武漢等城市封城隔離後，收到不錯的防疫效果。
因此，在1／23之後，人傳人的情況大幅收斂，往後推遲兩周被確診。高峰會落在二月上旬，疫情高峰期縮短為兩週，並且從1／31開始進入高峰期。在高峰期，每天會有2000至4000個新增確診病例，並持續到2／13。
這個劇本很接近鍾南山的預測，但在套用模型後，則多了一個確診人數總數，這邊推估約六萬人左右。
因此狀況一與狀況二要區分，就是觀察從最高峰的2／9之後，是否新增數有下降趨勢？如果下降幅度明顯，到了2／13以後低於每日兩千人，那可能就代表高峰期已經結束，大概可以判斷這波疫情有機會在二月下旬走完。
現在單從人數要判斷是狀況一或二，尚言之過早。但是，以這次武漢封到街上跟《我是傳奇》電影場景差不多的情況，我比較傾向是未來會走這個劇本。
▲武漢肺炎／湖北封城。（圖／路透）
狀況三（紅線）：最樂觀版本不可採
狀況三（紅線）是最佳劇本，現在就是高點！
但這個劇本連中國官方都沒人這樣樂觀，絕大部分的官員都是說防疫措施在元宵節（2／8） 後見效，因此機會應該不高。
但不排除一個特殊的情況，就是若這次2019-nCoV是以輕症，甚至無症為主，而大家基於「不想去醫院作檢測以降低感染風險」的心態，反而造成很多病例無法被官方確認。若真的這樣走，這個特殊情況是我目前能想得到的可能性。
畢竟這次武漢封的這樣徹底，可以說是人類史上最大規模的一個社會學實驗，這樣大規模的隔離，如何影響人類的行為，也只能事後諸葛了。
另外特別提一下，這個劇本的總確診人數是兩萬人，差不多就是 J. Read 推估1／22前的感染數。至於結果如何，再過一周見分曉。（2／2 更新：這個版本從1／30至2／2 的新增確診人數來看已經破功，這個劇本可以丟掉了！）
在這裏特別強調：
圖上預測都是在「武漢肺炎疫情『沒有』在其他中國境內城市大規模群聚感染」的情況下才成立。因為，若從其他城市開始新的散播，會爆發出新的獨立疫情，並且和舊的曲線交疊，會讓數據判讀相對複雜。
狀況四：疫情至少6至7月才能善了
若要考慮這樣的情況，那就會有一個圖上沒畫出來的「狀況四」，也就是港大醫梁卓偉講的，其他大城市遍地開花，疫情就真的至少要落到6至7月才能善了。
（2／2 更新：國際醫學權威期刊《The Lancet》在 2／1 發表一篇論文，根據他們的流行病學模型推估，疫情要到4月之後才會達到高峰）。
結論與聲明
在這篇文章中，我試著以簡化後的反應動力學模型，來描述傳染病的傳播模式。試著讓具有高中以上化學基礎的人，以直觀的方式理解傳染性疾病的爆發與疫情特徵。
此外，若是在武漢以外的城市沒有大規模發生疫情傳播的情況下，此次中國的2019-nCoV武漢肺炎疫情，有機會在二月底就能收尾，視防疫成效高低，最終的確診人數可能會落在六萬到二十四萬人之間。
▲武漢首個方艙醫院開始收治武漢肺炎病患。（圖／翻攝新華社）
另外，本篇主要是作為教育用途，嘗試以理科教科書中教過的觀點，來幫助大家理解疫情的可能進展。本篇提出的模型非常簡陋，有非常多的假設，與實際狀況差異甚遠，不能當作真正的流行病學預測，也未經同儕審查（peer review）、未經同儕審查、未經同儕審查（很重要所以要說三次），亦不能作為正式的學術報告。
再次強調，本篇的目的是要讓有高中化學背景的人，以比較直觀的方式去理解疾病傳染是怎麼回事。
實際上，流行病學中經典的SIR model，就是在Ａ和Ｂ之後，多了一個Ｒ（代表康復者）。若對SIR model有了解的人，會發現本篇的模型只有S和I（對應到Ａ和Ｂ），所以沒有辦法算reproductive number（R0）這項（相當於被感染者一直具有傳染力，這點很不符合真實世界的情況）。
▲杭州封城 。（圖／杭州日報）
2／6 數據更新
本文發表於1／30，圖上呈現的數據只統計到 1／29，此後的中國境內每日新增確診人數補充如下：
1/30 新增 1982 人（劇本二估 1755 人）
1/31 新增 2102 人（劇本二估 2116 人）
2/01 新增 2590 人（劇本二估 2512 人）
2/02 新增 2829 人（劇本二估 2929 人）
2/03 新增 3235 人（劇本二估 3340 人）
2/04 新增 3887 人（劇本二估 3711 人）
2/05 新增 3694 人（劇本二估 4001 人）
2/06 新增 3143 人（劇本二估 4170 人）
▲溫州2月2日半封城後，目前現場街景情況。（圖／讀者提供）
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